V matematice je několik obecných konceptů, které je dobré pochopit hlouběji a umět
efektivně používat.
Jedním z nich je kolmost, neboli ortogonalita. Např. při řešení rozsáhlých či špatně podmíněných soustav lineárních rovnic Gaussovou eliminační metodou lze zvolit elementární úpravy jako ortogonální transformace, které zabraňují expanzi zaokrouhlovací chyby.
V úlohách aproximace (fitování) dat metodou nejmenších čtverců je zase vhodné lineární model popsat systémem ortogonálních bázových funkcí, čímž se vyhneme řešení soustavy lineárních rovnic, tedy výpočet urychlíme, a metoda je numericky stabilní. Nejznámější takovou metodou je rychlá Fourierova transformace (FFT).
Mezi numerickými metodami výpočtu integrálů vyniká Gaussova kvadraturní metoda,
která je založena na systému ortogonálních polynomů.
Při výpočtu integrálů (i nevlastních) touto metodou pak stačí vyčíslit integrand typicky v tolika uzlech, kolik platných cifer ve výsledku požadujeme. Na rozdíl od Newtonových-Cotesových kvadratur je Gaussova kvadratura stabilní. Konečně při numerickém řešení fyzikálních úloh popsaných soustavami obyčejných či parciálních diferenciálních rovnic často sáhneme po metodě konečných nebo hraničních prvků. Nejedná se ale o nic jiného, než o ortogonální projekci skutečného řešení na zvolený podprostor bázových funkcí.
Pokud umíme odhadnout oblasti, v nichž bude řešení analytické, můžeme opět dosáhnout vlastnosti, kdy počet platných cifer ve výsledku je přímo úměrný počtu bázových funkcí.
V tomto kurzu si projdeme principy a algoritmy výše uvedených metod a použijeme je na řešení vybraných inženýrských úloh.
Pro koho je předmět určen?
Pro všechny studenty doktorského studia.