Anotace
Seznámíme se s aplikacemi diferenciálních rovnic v mechanice při modelování pohybů jednoduchých mechanických systémů, jako jsou volný pád a vrhy těles v homogenním tíhovém poli jednak bez odporu prostředí a potom rovněž s odporem prostředí, charakterizovaném přítomností disipativních sil působících proti pohybu těles.
V kurzu uvedeme obecná analytická řešení příslušných pohybových rovnic, představíme jejich konkrétní partikulární řešení vzhledem k zadaným počátečním podmínkám, provedeme fyzikální interpretaci získaných řešení, kvantitativní rozbor pohybů se zaměřením na určení jejich kinematických parametrů, ukážeme grafická znázornění a nabídneme srovnání odpovídajících trajektorií při stejných počátečních podmínkách.
V závěru je možné se věnovat rovněž problematice volného pádu nebo svislého vrhu tělesa v nehomogenním centrálním gravitačním poli Země coby zúžené jednorozměrné verze Keplerovy úlohy.
Pro koho je předmět určen?
Pro všechny studenty doktorského studia.
Osnova
1. Pohyby těles v homogenním gravitačním poli bez odporu prostředí: volný pád, svislý vrh vzhůru a svislý vrh dolů a vrh šikmý vzhůru bez odporu vzduchu.
2. Omezení použitých modelů: uvážení odporu prostředí a jeho matematické vyjádření pomocí disipativní síly.
3. Pohyby těles v homogenním gravitačním poli s lineární závislostí disipativní síly na velikosti rychlosti.
4. Pohyby těles v homogenním gravitačním poli s kvadratickou závislostí disipativní síly na velikosti rychlosti.
5. Uvážení nehomogenního gravitačního pole.
6. Volný pád a svislý vrh tělesa v nehomogenním centrálním gravitačním poli Země.
Dostupné studijní materiály:
[1] KVASNICA, J. a kol.: Mechanika. Praha: Academia 2004. ISBN 80-200-1268-0.
[2] MUSILOVÁ, J., MUSILOVÁ, P.: Matematika II/1 pro porozumění i praxi: Netradiční výklad tradičních témat vysokoškolské matematiky. 1.vyd. Brno: VUTIUM 2012.
ISBN 978-80-214-4071-5. (kapitola 7: Obyčejné diferenciální rovnice)
[3] REKTORYS, K.: Co je a k čemu je vyšší matematika, Academia, Praha, 2001.
ISBN 80-200-0883-7
[4] ZILL, D. G.: A first course in differential equations with modeling applications [online]. 10.vyd. Boston, MA: Brooks/Cole, Cengage Learning 2013. ISBN 1-111-82705-2. [cit. 1.4.2015].
(PDF) A First Course in Differential Equations with Modeling Applications | Kalil Thompson - Academia.edu