Tenzorový počet
Skalár, vektor, tenzor. Vektorové operace, vektorové diferenciální operace.
Tenzory 2. řádu. Tenzorové operace, diferenciální operace s tenzory. Hlavní
směry a invarianty symetrického tenzoru 2. řádu. Teorie pole. Gradient
skalárního pole. Skalární potenciál. Divergence a rotace vektorového pole. Tok
vektoru uzavřenou plochou. Integrální věty pro vektory a tenzory: Stokesova,
Gauss-Ostrogradského. Složky vektorů a tenzorů v křivočarých souřadnicích.
Diferenciální operátory v ortogonálních křivočarých souřadnicích. Aplikace
tenzorového počtu v přenosových jevech: Rovnice kontinuity. Přenos tepla,
hmoty.
Okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice (DR)
Formulace okrajové úlohy (OÚ). Okrajové podmínky. Samoadjungovaný tvar lineární
DR 2. řádu. Ortogonální soustavy funkcí. Fourierovy řady. Homogenní OÚ. Vlastní
čísla a vlastní funkce homogenní OÚ. Sturmova-Liouvilleova úloha. Besselova
rovnice. Některé metody řešení nehomogenních OÚ: Metoda přímé integrace.
Fourierova metoda. Metoda variace konstant (Greenova funkce). Metoda konečných
diferencí (metoda sítí). Aplikace: Stacionární vedení tepla v tuhých tělesech.
Stacionární, jednorozměrné vedení tepla v desce, válci a kouli.
Okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice (PDR)
Lineární PDR 2. řádu a jejich klasifikace. Podmínky počáteční, okrajové.
Formulace OÚ pro rovnice evoluční a stacionární. Některé metody řešení OÚ
rovnic parabolického typu: Metoda separace proměnných (Fourierova metoda).
Metoda kombinace proměnných (metoda podobnostní transformace). Metoda
fundamentálního řešení (metoda Greenovy funkce). Metoda konečných diferencí
(metoda sítí). Řešení OÚ rovnic eliptického typu. Metoda separace proměnných.
Metoda konečných diferencí. Aplikace metod na řešení modelových úloh:
Nestacionární vedení tepla v poloomezeném tělese. Nesymetrický a symetrický
ohřev neomezené desky. Ohřívání desky konečné tloušťky. Nestacionární vedení
tepla v neomezeném válci a v kouli. Nestacionární vedení tepla v tělesech
konečné velikosti. Řešení OÚ difúzní rovnice: difúze mezi dvěma poloprostory,
difúze v poloprostoru, difúze ve vrstvě konečné tloušťky.
Teoretická cvičení
1. Algebraický úvod (opakování). Matice, determinant. Řešení soustav lineárních
rovnic. Kvadratické formy.
2. Skalár, vektor, tenzor. Vektorové operace, jejich vlastnosti a použití.
Vektorové diferenciální operace, vlastnosti a vztahy.
3. Tenzory 2.řádu. Tenzorové operace a jejich vlastnosti. Diferenciální operace
s tenzory. Hlavní směry a invarianty symetrického tenzoru 2.řádu.
4. Gradient skalárního pole. Skalární potenciál. Divergence a rotace
vektorového pole. Tok vektoru uzavřenou plochou. Integrální věty pro vektory a
tenzory : Stokesova, Gauss-Ostrogradského.
5. Diferenciální operátory v ortogonálních křivočarých souřadnicích. Aplikace
tenzorového počtu v přenosových jevech: Rovnice kontinuity.
6. Samoadjungovaný tvar lineární diferenciální rovnice 2.řádu. Vlastní čísla a
vlastní funkce homogenní okrajové úlohy. Sturmova-Liouvilleova úloha.
7. Analytické metody řešení okrajových úloh: Metoda přímé integrace. Fourierova
metoda.
8. Numerická metoda: Metoda konečných diferencí (metoda sítí). Aplikace:
Stacionární vedení tepla v tuhých tělesech.
9. Stacionární, jednorozměrné vedení tepla v rovinné desce, válci a kouli.
Teplotní profil, tepelný tok, povrchové teploty.
10. Řešení okrajových úloh rovnic parabolického typu metodou separace
proměnných. Difúze a vedení tepla ve vrstvě konečné tloušťky. Difúze titanu ve
vrstvě s izolovanými stěnami.
11. Řešení okrajových úloh metodou kombinace proměnných a metodou
fundamentálního řešení: Difúze mezi dvěma poloprostory, difúze z vrstvy konečné
šířky do nekonečné oblasti, difúze s neproniknutelnou (odrážející) hranicí.
Ohřívání polonekonečné desky.
12. Nesymetrický a symetrický ohřev (chlazení) neomezené desky. Řešení
vybraných úloh z doporučené literatury [6]: Použití termoplastického lepidla.
Srovnání dvou způsobů řešení pro vrstvu při krátkých časových intervalech.
Průměrná teplota desky.
13. Řešení dané okrajové úlohy metodou konečných diferencí. Stabilita a
konvergence metody.Odhad chyby metody. Porovnání hodnot analytického a
numerického řešení ve vybraných bodech.
14. Analytické řešení daných okrajových úloh pro Laplaceovu rovnici na
obdélníku a na kruhu. Řešení okrajové úlohy pro Poissonovu rovnici v prostoru
mezi dvěma koulemi.
Skalár, vektor, tenzor. Vektorové operace, vektorové diferenciální operace.
Tenzory 2. řádu. Tenzorové operace, diferenciální operace s tenzory. Hlavní
směry a invarianty symetrického tenzoru 2. řádu. Teorie pole. Gradient
skalárního pole. Skalární potenciál. Divergence a rotace vektorového pole. Tok
vektoru uzavřenou plochou. Integrální věty pro vektory a tenzory: Stokesova,
Gauss-Ostrogradského. Složky vektorů a tenzorů v křivočarých souřadnicích.
Diferenciální operátory v ortogonálních křivočarých souřadnicích. Aplikace
tenzorového počtu v přenosových jevech: Rovnice kontinuity. Přenos tepla,
hmoty.
Okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice (DR)
Formulace okrajové úlohy (OÚ). Okrajové podmínky. Samoadjungovaný tvar lineární
DR 2. řádu. Ortogonální soustavy funkcí. Fourierovy řady. Homogenní OÚ. Vlastní
čísla a vlastní funkce homogenní OÚ. Sturmova-Liouvilleova úloha. Besselova
rovnice. Některé metody řešení nehomogenních OÚ: Metoda přímé integrace.
Fourierova metoda. Metoda variace konstant (Greenova funkce). Metoda konečných
diferencí (metoda sítí). Aplikace: Stacionární vedení tepla v tuhých tělesech.
Stacionární, jednorozměrné vedení tepla v desce, válci a kouli.
Okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice (PDR)
Lineární PDR 2. řádu a jejich klasifikace. Podmínky počáteční, okrajové.
Formulace OÚ pro rovnice evoluční a stacionární. Některé metody řešení OÚ
rovnic parabolického typu: Metoda separace proměnných (Fourierova metoda).
Metoda kombinace proměnných (metoda podobnostní transformace). Metoda
fundamentálního řešení (metoda Greenovy funkce). Metoda konečných diferencí
(metoda sítí). Řešení OÚ rovnic eliptického typu. Metoda separace proměnných.
Metoda konečných diferencí. Aplikace metod na řešení modelových úloh:
Nestacionární vedení tepla v poloomezeném tělese. Nesymetrický a symetrický
ohřev neomezené desky. Ohřívání desky konečné tloušťky. Nestacionární vedení
tepla v neomezeném válci a v kouli. Nestacionární vedení tepla v tělesech
konečné velikosti. Řešení OÚ difúzní rovnice: difúze mezi dvěma poloprostory,
difúze v poloprostoru, difúze ve vrstvě konečné tloušťky.
Teoretická cvičení
1. Algebraický úvod (opakování). Matice, determinant. Řešení soustav lineárních
rovnic. Kvadratické formy.
2. Skalár, vektor, tenzor. Vektorové operace, jejich vlastnosti a použití.
Vektorové diferenciální operace, vlastnosti a vztahy.
3. Tenzory 2.řádu. Tenzorové operace a jejich vlastnosti. Diferenciální operace
s tenzory. Hlavní směry a invarianty symetrického tenzoru 2.řádu.
4. Gradient skalárního pole. Skalární potenciál. Divergence a rotace
vektorového pole. Tok vektoru uzavřenou plochou. Integrální věty pro vektory a
tenzory : Stokesova, Gauss-Ostrogradského.
5. Diferenciální operátory v ortogonálních křivočarých souřadnicích. Aplikace
tenzorového počtu v přenosových jevech: Rovnice kontinuity.
6. Samoadjungovaný tvar lineární diferenciální rovnice 2.řádu. Vlastní čísla a
vlastní funkce homogenní okrajové úlohy. Sturmova-Liouvilleova úloha.
7. Analytické metody řešení okrajových úloh: Metoda přímé integrace. Fourierova
metoda.
8. Numerická metoda: Metoda konečných diferencí (metoda sítí). Aplikace:
Stacionární vedení tepla v tuhých tělesech.
9. Stacionární, jednorozměrné vedení tepla v rovinné desce, válci a kouli.
Teplotní profil, tepelný tok, povrchové teploty.
10. Řešení okrajových úloh rovnic parabolického typu metodou separace
proměnných. Difúze a vedení tepla ve vrstvě konečné tloušťky. Difúze titanu ve
vrstvě s izolovanými stěnami.
11. Řešení okrajových úloh metodou kombinace proměnných a metodou
fundamentálního řešení: Difúze mezi dvěma poloprostory, difúze z vrstvy konečné
šířky do nekonečné oblasti, difúze s neproniknutelnou (odrážející) hranicí.
Ohřívání polonekonečné desky.
12. Nesymetrický a symetrický ohřev (chlazení) neomezené desky. Řešení
vybraných úloh z doporučené literatury [6]: Použití termoplastického lepidla.
Srovnání dvou způsobů řešení pro vrstvu při krátkých časových intervalech.
Průměrná teplota desky.
13. Řešení dané okrajové úlohy metodou konečných diferencí. Stabilita a
konvergence metody.Odhad chyby metody. Porovnání hodnot analytického a
numerického řešení ve vybraných bodech.
14. Analytické řešení daných okrajových úloh pro Laplaceovu rovnici na
obdélníku a na kruhu. Řešení okrajové úlohy pro Poissonovu rovnici v prostoru
mezi dvěma koulemi.