1. Úvod do předmětu. Modelování. Fyzické a abstraktní modely. Matematické modelování, výpočtová matematika. Chyby v matematických modelech. Metody verifikace modelů. Apriorní a aposteriorní odhad chyb. Využití matematických modelů v praxi.
2. Základní pojmy v přenosových jevech 1. – skaláry, vektory – kartézská a geometrická reprezentace vektorů, vektorové prostory, dimenze vektorových prostorů. Skalární, vektorový a tenzorový součin vektorů a jejich geometrické významy. Matice – jevy reprezentované pomocí matic, singulární a regulární matice, determinant matice a jeho geometrický význam, transpozice matic,
symetrické matice, vlastní čísla a vlastní vektory matice.
3. Základní pojmy v přenosových jevech 2. – Tenzory, vztah tenzorů k vektorům a maticím, základy tenzorového počtu, diferenciální operace s tenzory. Základy teorie pole – skalární a vektorové pole, gradient skalárního pole, divergence a rotace vektorového pole a jejich geometrický význam, skalární potenciál vektorového pole.
4. Počáteční úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice – Formulace počáteční úlohy pro rovnici prvního řádu. Formulace počáteční úlohy pro soustavy rovnic prvního řádu. Formulace počáteční úlohy pro rovnici n-tého řádu a její převod na soustavu rovnic 1. řádu. Věta o existenci řešení počáteční úlohy 1. řádu. Vztahy mezi Lipschitzovskými, spojitými a spojitě diferencovatelnými funkcemi. Vlastnosti řešení
¨počáteční úlohy 1. řádu.
5. Analytické metody řešení ODR – Metoda přímé integrace, metoda separace proměnných, lineární rovnice n-tého řádu a soustavy lineárních rovnic. Charakteristické funkce, fundamentální řešení, metoda variace konstant.
6. Numerické metody řešení ODR 1 – Diskretizace úloh. Obecné numerické schéma řešení ODR. Explicitní a implicitní metody. Jedno- a vícekrokové metody. Eulerova metoda – explicitní, implicitní, lichoběžníková. Interpolace funkcí – Lagrangeova interpolace, Hermitova interpolace.
7. Numerické metody řešení ODR 2 – Konsistence, stabilita a konvergence numerických schémat. Rychlost konvergence úloh. Podmíněnost úloh. Počítačová reprezentace čísel. Zaokrouhlovací chyby. Konvergence a stabilita postupů založených na Eulerově metodě. Metody typu prediktor-korektor. Metody typu Runge-Kutta.
8. Okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice 1 – Formulace okrajové úlohy. Okrajové podmínky – Dirichletova, Neumannova okrajová podmínka, Newtonova okrajová podmínka, samoadjugovaný tvar lineární ODR 2. řádu. Ortogonální funkce a jejich základní vlastnosti. Fourierovy řady. Homogenní okrajové úlohy. Vlastní čísla a vlastní funkce homogenní okrajové úlohy. Analytické řešení pomocí
přímé integrace. Fourierova metoda.
9. Okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice 2 – Numerické řešení okrajových úloh pomocí metody sítí (metoda konečných diferencí). Numerické schéma metody, reprezentace okrajových podmínek. Vlastnosti momentové matice. Speciální Gaussova eliminace pro třípásové matice. Konvergence metody sítí. Stacionární jednorozměrné vedení tepla v tyči, desce, válci a kouli. Omezení metody sítí.
10. Okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice 3 – Metoda konečných prvků pro okrajové úlohy ODR. Slabá formulace úlohy, Galerkinovské aproximace, Courantova báze. Vlastnosti matice tuhosti. Konvergence metody konečných prvků. Adaptivní zjemňování výpočetní sítě.
11. Okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice 1 – Formulace okrajových úloh pro PDR. Lineární parciální diferenciální rovnice 2. řádu a jejich klasifikace. Okrajové podmínky pro PDR. Metoda separace proměnných (Fourierova metoda). Metoda kombinace proměnných u parabolických úloh. Metoda fundamentálního řešení (Greenova funkce).
12. Okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice 2 – Numerické řešení okrajových úloh pro PDR metodou sítí (metoda konečných diferencí). Požadavky na výpočetní síť pro zajištění konvergence úlohy. Numerické řešení okrajových úloh pro PDR metodou konečných prvků. Časově proměnné úlohy, metoda časových řezů pro parabolické úlohy. Časové řezy typu – explicitní, implicitní, Crank-Nicholson.
13. Okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice 3 – Aplikace analytických a numerických postupů na úlohy – nestacionární vedení tepla v poloomezeném tělese. Symetrický a nesymetrický ohřev omezené desky. Ohřívání desky konečné tloušťky. Řešení okrajových úloh difúzních rovnic.
2. Základní pojmy v přenosových jevech 1. – skaláry, vektory – kartézská a geometrická reprezentace vektorů, vektorové prostory, dimenze vektorových prostorů. Skalární, vektorový a tenzorový součin vektorů a jejich geometrické významy. Matice – jevy reprezentované pomocí matic, singulární a regulární matice, determinant matice a jeho geometrický význam, transpozice matic,
symetrické matice, vlastní čísla a vlastní vektory matice.
3. Základní pojmy v přenosových jevech 2. – Tenzory, vztah tenzorů k vektorům a maticím, základy tenzorového počtu, diferenciální operace s tenzory. Základy teorie pole – skalární a vektorové pole, gradient skalárního pole, divergence a rotace vektorového pole a jejich geometrický význam, skalární potenciál vektorového pole.
4. Počáteční úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice – Formulace počáteční úlohy pro rovnici prvního řádu. Formulace počáteční úlohy pro soustavy rovnic prvního řádu. Formulace počáteční úlohy pro rovnici n-tého řádu a její převod na soustavu rovnic 1. řádu. Věta o existenci řešení počáteční úlohy 1. řádu. Vztahy mezi Lipschitzovskými, spojitými a spojitě diferencovatelnými funkcemi. Vlastnosti řešení
¨počáteční úlohy 1. řádu.
5. Analytické metody řešení ODR – Metoda přímé integrace, metoda separace proměnných, lineární rovnice n-tého řádu a soustavy lineárních rovnic. Charakteristické funkce, fundamentální řešení, metoda variace konstant.
6. Numerické metody řešení ODR 1 – Diskretizace úloh. Obecné numerické schéma řešení ODR. Explicitní a implicitní metody. Jedno- a vícekrokové metody. Eulerova metoda – explicitní, implicitní, lichoběžníková. Interpolace funkcí – Lagrangeova interpolace, Hermitova interpolace.
7. Numerické metody řešení ODR 2 – Konsistence, stabilita a konvergence numerických schémat. Rychlost konvergence úloh. Podmíněnost úloh. Počítačová reprezentace čísel. Zaokrouhlovací chyby. Konvergence a stabilita postupů založených na Eulerově metodě. Metody typu prediktor-korektor. Metody typu Runge-Kutta.
8. Okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice 1 – Formulace okrajové úlohy. Okrajové podmínky – Dirichletova, Neumannova okrajová podmínka, Newtonova okrajová podmínka, samoadjugovaný tvar lineární ODR 2. řádu. Ortogonální funkce a jejich základní vlastnosti. Fourierovy řady. Homogenní okrajové úlohy. Vlastní čísla a vlastní funkce homogenní okrajové úlohy. Analytické řešení pomocí
přímé integrace. Fourierova metoda.
9. Okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice 2 – Numerické řešení okrajových úloh pomocí metody sítí (metoda konečných diferencí). Numerické schéma metody, reprezentace okrajových podmínek. Vlastnosti momentové matice. Speciální Gaussova eliminace pro třípásové matice. Konvergence metody sítí. Stacionární jednorozměrné vedení tepla v tyči, desce, válci a kouli. Omezení metody sítí.
10. Okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice 3 – Metoda konečných prvků pro okrajové úlohy ODR. Slabá formulace úlohy, Galerkinovské aproximace, Courantova báze. Vlastnosti matice tuhosti. Konvergence metody konečných prvků. Adaptivní zjemňování výpočetní sítě.
11. Okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice 1 – Formulace okrajových úloh pro PDR. Lineární parciální diferenciální rovnice 2. řádu a jejich klasifikace. Okrajové podmínky pro PDR. Metoda separace proměnných (Fourierova metoda). Metoda kombinace proměnných u parabolických úloh. Metoda fundamentálního řešení (Greenova funkce).
12. Okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice 2 – Numerické řešení okrajových úloh pro PDR metodou sítí (metoda konečných diferencí). Požadavky na výpočetní síť pro zajištění konvergence úlohy. Numerické řešení okrajových úloh pro PDR metodou konečných prvků. Časově proměnné úlohy, metoda časových řezů pro parabolické úlohy. Časové řezy typu – explicitní, implicitní, Crank-Nicholson.
13. Okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice 3 – Aplikace analytických a numerických postupů na úlohy – nestacionární vedení tepla v poloomezeném tělese. Symetrický a nesymetrický ohřev omezené desky. Ohřívání desky konečné tloušťky. Řešení okrajových úloh difúzních rovnic.