Diferenciální rovnice (DR)
Základní pojmy. DR 1. řádu, směrové pole. DR separovatelná, homogenní.
Lineární DR 1. řádu. Bernoulliho DR. Exaktní DR, integrační faktor.
Existence a jednoznačnost řešení DR 1. řádu. Picardova metoda postupných
aproximací. Lineární DR n-tého řádu, Wronskián, fundamentální systém
řešení. Lineární DR n-tého řádu s konstatními koeficienty (zkrácená a úplná).
Metoda variace konstant (Lagrangeova). Metoda neurčitých koeficientů (odhad
partikulárního řešení podle tvaru pravé strany DR). Eulerova DR (zkrácená,
úplná).
Soustavy diferenciálních rovnic
Metody řešení: postupná integrace, eliminační. Soustavy diferenciálních
rovnic s konstantními koeficienty. Některé aplikace diferenciálních rovnic:
v chemické kinetice, ve fyzice.
Nekonečné číselné řady
Konvergence, vlastnosti. Bolzano-Cauchyho kriterium. Nutná podmínka
konvergence. Kriteria konvergence řad s kladnými členy. Alternující řady.
Absolutní a relativní konvergence.
Funkční řady
Obor konvergence. Stejnoměrná konvergence, Weierstrassovo kriterium.
Vlastnosti stejnoměrně konvergentních řad. Mocninné řady, interval a poloměr
konvergence. Vlastnosti mocninných řad. Taylorova a Maclaurinova řada.
Aritmetické operace s mocninnými řadami. Použití mocninných řad. Přibližný
výpočet určitých integrálů. Řešení DR ve tvaru Taylorovy řady (metoda
postupného derivování). Řešení lineárních DR pomocí mocninných řad (metoda
neurčitých koeficientů).
Fourierovy řady
Rozvoj funkce ve Fourierovu řadu se základní periodou. Dirichletovy
podmínky, Dirichletova věta. Řada sinová, kosinová. Rozvoj funkce ve
Fourierovu řadu s obecnou periodou.
Lineární parciální diferenciální rovnice 2. řádu
Klasifikace. Rovnice pro vedení tepla, Laplaceova rovnice,vlnová
rovnice.Podmínky počáteční, okrajové. Formulace počátečních a okrajových
úloh. Dirichletova úloha rovnice pro vedení tepla. Metody řešení:
Fourierova metoda (metoda separace proměnných). Metoda sítí (metoda konečných
diferencí). Laplaceova rovnice. 1. okrajová úloha, metody řešení: Fourierova
metoda, metoda sítí. Vlnová rovnice: smíšená úloha, metody řešení: Fourierova
metoda, metoda sítí.
Základní pojmy. DR 1. řádu, směrové pole. DR separovatelná, homogenní.
Lineární DR 1. řádu. Bernoulliho DR. Exaktní DR, integrační faktor.
Existence a jednoznačnost řešení DR 1. řádu. Picardova metoda postupných
aproximací. Lineární DR n-tého řádu, Wronskián, fundamentální systém
řešení. Lineární DR n-tého řádu s konstatními koeficienty (zkrácená a úplná).
Metoda variace konstant (Lagrangeova). Metoda neurčitých koeficientů (odhad
partikulárního řešení podle tvaru pravé strany DR). Eulerova DR (zkrácená,
úplná).
Soustavy diferenciálních rovnic
Metody řešení: postupná integrace, eliminační. Soustavy diferenciálních
rovnic s konstantními koeficienty. Některé aplikace diferenciálních rovnic:
v chemické kinetice, ve fyzice.
Nekonečné číselné řady
Konvergence, vlastnosti. Bolzano-Cauchyho kriterium. Nutná podmínka
konvergence. Kriteria konvergence řad s kladnými členy. Alternující řady.
Absolutní a relativní konvergence.
Funkční řady
Obor konvergence. Stejnoměrná konvergence, Weierstrassovo kriterium.
Vlastnosti stejnoměrně konvergentních řad. Mocninné řady, interval a poloměr
konvergence. Vlastnosti mocninných řad. Taylorova a Maclaurinova řada.
Aritmetické operace s mocninnými řadami. Použití mocninných řad. Přibližný
výpočet určitých integrálů. Řešení DR ve tvaru Taylorovy řady (metoda
postupného derivování). Řešení lineárních DR pomocí mocninných řad (metoda
neurčitých koeficientů).
Fourierovy řady
Rozvoj funkce ve Fourierovu řadu se základní periodou. Dirichletovy
podmínky, Dirichletova věta. Řada sinová, kosinová. Rozvoj funkce ve
Fourierovu řadu s obecnou periodou.
Lineární parciální diferenciální rovnice 2. řádu
Klasifikace. Rovnice pro vedení tepla, Laplaceova rovnice,vlnová
rovnice.Podmínky počáteční, okrajové. Formulace počátečních a okrajových
úloh. Dirichletova úloha rovnice pro vedení tepla. Metody řešení:
Fourierova metoda (metoda separace proměnných). Metoda sítí (metoda konečných
diferencí). Laplaceova rovnice. 1. okrajová úloha, metody řešení: Fourierova
metoda, metoda sítí. Vlnová rovnice: smíšená úloha, metody řešení: Fourierova
metoda, metoda sítí.