Úvod do funkcionální analýzy

Přednášky:

Metrický prostor.

Úplný metrický prostor.

Banachova věta o pevném bodě.


Banachův prostor.

Lineární funkcionály.

Slabá konvergence.

Hilbertův prostor.

Rieszova věta o reprezentaci.

Operátory v Banachových a Hilbertových prostorech.

Gateauxův diferenciál a derivace.

Fréchetův diferenciál a derivace.

Extrémy a kritické body funkcionálů.


Cvičení:


Opakování vektorových prostorů.

Příklady metrických prostorů.

Vyšetřování konvergence posloupností v metrických prostorech.

Cauchyovské posloupnosti v úplných a v neúplných metrických prostorech.

Banachova věta o pevném bodě - její aplikace při řešení různých problémů.

Příklady Banachových prostorů. Prostory funkcí.

Lineární funkcionály a jejich spojitost, vliv dimenze prostoru.

Vztah slabé a silné konvergence.


Skalární součiny. Hilbertův prostor. Fourierovy řady.

Rieszova věta o reprezentaci - přiklad její užitečnosti.

Operátory v Banachových a Hilbertových prostorech.

Derivace funkcionálů a operátorů obecně.

Vzájemný vztah Fréchetovy a Gateauxovy derivace.

Extrémy a kritické body funkcionálů.


Projekty:
1. Topologické a metrické prostory.
2. Lineární operátory.