Mathematical Analysis 1

Určete definiční obor funkce dané předpisem

\[f(x):=\frac{\sqrt{x^2-x-6}}{1-\sqrt{x+4}}.\]

Určete definiční obor funkce dané předpisem

\[f(x):=\ln \left( 3+\frac{x}{x-1} \right).\]

Určete definiční obor funkce dané předpisem

\[f(x):=\arccos \left( x^2+x-1 \right).\]

Určete definiční obory funkcí daných předpisy:

\[\text{a) } \; f(x):= \ln \left( \arcsin x \right), \\\] \[\text{b) } \; g(x):= \arcsin \left( \ln x \right).\]

Určete definiční obory funkcí daných předpisy:

\[\text{a) } \; f(x):= \sqrt[3]{1-2\sin x}, \\\] \[\text{b) } \; g(x):= \sqrt[4]{1-2\sin x}.\]

\[\text{Rozhodněte, zda existuje } f^{-1}, \text{ je-li } D(f)=(-\infty,-1\rangle, \; f(x):=x^2.\]

\[\text{Najděte (existuje-li) } f^{-1}, \text{ je-li } D(f)=(-1,0\rangle, \; f(x):=\sqrt{3-x^2}.\]

Určete hodnoty cyklometrických funkcí

\[\text{a) } \; \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}, \\\] \[\;\;\;\;\;\text{b) } \; \arccos \left(-\frac{1}{2}\right), \\\] \[\,\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\text{c) } \; \mathrm{arctg}\,1, \\\] \[\;\!\!\!\text{d) } \; \mathrm{arccotg}\, \sqrt{3}.\]

\[\text{Řešte v } \mathbb{R} \text{ rovnici } \; \cos x=-\frac{2}{5}.\]

\[\text{Řešte v } \mathbb{R} \text{ nerovnici } \; \mathrm{tg}\, x \leq 5.\]

Vypočtěte limity posloupností daných předpisy:

\[\text{a) }\; a_n:=\frac{-5+2n}{23+\frac{5}{n^2}}, \\\] \[\text{b) }\; a_n:=\frac{-5+2n}{3n+15}.\]

Vypočtěte limity posloupností daných předpisy:

\[\text{a) } \; a_n:=\frac{n^2+3n+6}{2n^2+2n+17}, \\\] \[\!\!\!\text{b) } \; a_n:=\frac{3n^2-6n+3}{2n+1}, \\\] \[\qquad \text{c) } \; a_n:=\frac{2n^2+3n-4}{5n^3-2n^2+3n+2}.\]

Vypočtěte limity posloupností daných předpisy:

\[\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\text{a) } \; a_n:=2n^2-3n+5, \\\] \[\;\;\qquad \text{b) } \; a_n:=\sqrt{4n^2-2n}-\sqrt{n^2+3n}, \\\] \[\qquad \text{c) } \; a_n:=\sqrt{n^2+2n}-\sqrt{n^2+3n}.\]

Vypočtěte limity posloupností daných předpisy:

\[\; \text{a) } \; a_n:=\frac{2^n+3^n-5^n}{6\cdot 5^n-3\cdot 2^n}, \\\] \[\text{b) } \; a_n:=\frac{3^n+15^n-2}{5^{n+2}+3^{3n}}.\]

Vypočtěte limity posloupností daných předpisy:

\[\;\,\text{a) } \; a_n:=\frac{\sin\left(n^4+5^n-n!\right)}{n}, \\\] \[\qquad \text{b) } \; a_n:=\frac{\sin\left(n-4^n+\ln(-n)\right)}{n}.\]

Vypočtěte limity posloupností daných předpisy:

\[\text{a) } \; a_n:=\left( \frac{3n+1}{3n} \right)^n, \\\] \[\text{b) } \; a_n:=\left( \frac{3n+1}{5n} \right)^n, \\\] \[\text{c) } \; a_n:=\left( \frac{5n+1}{3n} \right)^n.\]

Vypočtěte limitu posloupnosti:

\[a_n:=\sqrt[n]{2n^3+3n^2-4n-1}.\]

Určete derivaci funkce

\[f(x):=\ln\left(\ln x\right).\]

Určete derivaci funkce

\[f(x):=\frac{x^2\cos x}{x^3+1}.\]

Určete derivaci funkce

\[f(x):=x^2 \sin \left( x^3+x^2 \right).\]

Určete derivaci funkce

\[f(x):=\left( 1+x^2 \right)^x.\]

Vypočtěte limity:

\[\text{a) } \; \lim_{x \to +\infty} \frac{3x+2}{x^2+2x+15}, \\\] \[\;\;\;\text{b) } \; \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2-3x+2}{x^3-15x^2+24}.\]

Vypočtěte limitu

\[\lim_{x \to \frac{3}{2}\pi} \frac{\sin x \cos x}{x-\frac{3}{2}\pi}.\]

Vypočtěte limitu

\[\lim_{x \to \pi} \frac{\sin^2 x}{(x-\pi)^2}.\]

Vypočtěte limity:

\[\text{a) } \;\; \lim_{x \to 1} \frac{\sin x}{x}, \\\] \[\;\;\text{b) } \; \lim_{x \to +\infty} \frac{\sin x}{x}.\]

Vypočtěte limitu

\[\lim_{x \to 1+} \frac{x^2-1}{\sqrt{x-1}}.\]

Vypočtěte limitu

\[\lim_{x \to 0+} \left( x^2 \ln x \right).\]

Vypočtěte limitu

\[\lim_{x \to +\infty} \left( 1+\frac{1}{x} \right)^x.\]

Rozhodněte, zda je funkce

\[\qquad\quad f(x):=x^2 \sin \frac{1}{x}, \;\; \phantom{\text{ pro }} x \neq 0, \\\] \[\;\;\;\qquad \phantom{f(x):=}0, \qquad\quad\;\;\, \phantom{\text{ pro }} x=0 \\ \] \[\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\text{spojitá v bodě } 0.\]

Určete intervaly ryzí monotonie funkce

\[f(x):=(3x+2) \mathrm{e}^x.\]

Určete intervaly ryzí monotonie funkce

\[f(x):=x^2-2x-4\ln x.\]

Určete intervaly ryzí monotonie funkce

\[f(x):=\frac{x}{9}+\frac{1}{x}.\]

Určete intervaly ryzí monotonie funkce

\[f(x):=\left|x^3\right|+2x^2-x+1.\]

Najděte všechny lokální extrémy funkce

\[f(x):=x^4-4x^3+7.\]

Najděte všechny lokální extrémy funkce

\[f(x):=\frac{\ln x}{\sqrt{x}}.\]

Najděte všechny lokální extrémy funkce

\[f(x):=x+\sqrt{1-x}.\]

Najděte všechny lokální extrémy funkcí:

\[\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\text{a) } \; f(x):=\sqrt{(x-1)^2}, \\\] \[\text{b) } \; f(x):=\sqrt{(x-1)^2}, \quad \phantom{\text{pro }} x \neq 1, \\\] \[ \,\;\;\quad \phantom{f(x):=}1, \qquad\qquad\quad \phantom{\text{pro }} x=1.\]

Najděte globální extrémy funkce

\[f(x):=2x^3+3x^2-12x+5 \; \text{ na intervalu } \langle -1,2 \rangle.\]

Najděte globální extrémy funkce

\[f(x):=x+\sqrt{1-x^2} \; \text{ na intervalu } \langle -1,1 \rangle.\]

Najděte globální extrémy funkce

\[f(x):=\mathrm{arctg} \, \left( \ln \left( 1-x^2 \right) \right) \; \text{ na množině } D(f).\]

Ze všech válců s objemem

\[V>0 \text{ vyberte ten, který má nejmenší povrch}.\]

Najděte intervaly ryzí konvexity, ryzí konkávnosti a inflexní body funkce

\[f(x):=4 \ln (1-x)-9\ln x.\]

Najděte intervaly ryzí konvexity, ryzí konkávnosti a inflexní body funkce

\[f(x):=\mathrm{arctg}\, \frac{1}{x}.\]

Najděte inflexní body funkce

\[f(x):=x^5-10x^4+30x^3+7x+1.\]

Najděte intervaly ryzí konvexity, ryzí konkávnosti a inflexní body funkce

\[f(x):=\left|\mathrm{e}^x-1\right|.\]

Najděte všechny asymptoty (grafu) funkce

\[f(x):=x \, \mathrm{arctg}\,x.\]

Najděte všechny asymptoty (grafu) funkce

\[f(x):=\frac{2x^3+3x^2-5}{x^2-1}.\]

Najděte všechny asymptoty (grafu) funkce

\[f(x):=\sqrt{x^2+4x+5}.\]

Najděte všechny asymptoty (grafu) funkce

\[f(x):=\frac{x}{\sin x}.\]

Určete Taylorův polynom 3. řádu funkce

\[f(x):=x^2+8\sqrt{x} \; \text{ v bodě } x_0=1.\]

Určete rovnici tečny grafu funkce

\[f(x):=\frac{1}{\sqrt{x^2-3}} \; \text{ sestrojené v bodě } (2,1).\]

Najděte všechny tečny grafu funkce

\[f(x):=(3x-1)^3, \, \text{ které jsou rovnoběžné s přímkou } y=9x+3.\]

Rozviňte polynom

\[f(x):=x^3-2x^2+3x+2 \; \text{ podle mocnin } (x-1).\]

Vypočtěte integrál

\[\int \frac{2x^2+\sqrt{x}+3\sqrt[6]{x}-12}{\sqrt[3]{x}} \, \mathrm{d}x.\]

Vypočtěte integrál

\[\int \mathrm{cotg}^2 \, x \, \mathrm{d}x.\]

Rozhodněte, které z rovností jsou (na R) pravdivé:

\[\text{a) } \; \int \sin 2x \, \mathrm{d}x = \sin^2 x, \\\] \[\text{b) } \; \int \sin 2x \, \mathrm{d}x = \cos^2 x, \\\] \[\quad\quad\!\! \text{c) } \; \int \sin 2x \, \mathrm{d}x = -\frac{1}{2} \cos 2x, \\\] \[\qquad\qquad \text{d) } \; \int \sin 2x \, \mathrm{d}x = 2\sin^2 x + \cos^2 x.\]

Vypočtěte integrál

\[\int |x-3| \, \mathrm{d}x \; \text{ na } \mathbb{R}.\]

Vypočtěte integrál

\[\int (2x+1)\sin x \, \mathrm{d}x.\]

Vypočtěte integrál

\[\int x \, \mathrm{arctg}\, x \, \mathrm{d}x.\]

Vypočtěte integrál

\[\int \ln^2 x \, \mathrm{d}x.\]

Vypočtěte integrál

\[\int \frac{\ln x}{x} \, \mathrm{d}x.\]

Vypočtěte integrál

\[\int \mathrm{e}^x \sin x \, \mathrm{d}x.\]

Vypočtěte integrál

\[\int \frac{\ln x}{x} \, \mathrm{d}x.\]

Vypočtěte integrál

\[\int \sin \left( 2x+\sqrt{3} \right) \, \mathrm{d}x.\]

Vypočtěte integrál

\[\int \mathrm{tg} \, x \, \mathrm{d}x.\]

Vypočtěte integrál

\[\int \frac{1}{\sqrt{\left(1-x^2\right)^3}} \, \mathrm{d}x \; \text{ pomocí substituce } x=\sin t.\]

Vypočtěte integrál

\[\int \frac{1}{\sqrt{x-x^2}} \, \mathrm{d}x \; \text{ pomocí substituce } x=\sin^2 t.\]

Vypočtěte integrál

\[\int \frac{5x-7}{x^2-2x-3} \, \mathrm{d}x.\]

Vypočtěte integrál

\[\int \frac{5x+1}{(x+2)(x-1)^2} \, \mathrm{d}x.\]

Vypočtěte integrál

\[\int \frac{2x^2+x-16}{(x-3)(x+2)} \, \mathrm{d}x.\]

Vypočtěte integrál

\[\int \frac{2x+2}{(x^2+2x+1)(x-1)} \, \mathrm{d}x.\]

Vypočtěte integrál

\[\int \frac{5x+1}{x^2-4x+7} \, \mathrm{d}x.\]

Vypočtěte integrál

\[\int \frac{x-3}{(x^2+2x+5)(x+2)} \, \mathrm{d}x.\]

Vypočtěte integrály:

\[\text{a) } \; \int \frac{x^3}{x^4-1} \, \mathrm{d}x, \\\] \[\;\; \text{b) } \; \int \frac{2x^2+3}{(x-1)^3} \, \mathrm{d}x.\]

Vypočtěte integrál

\[\int \sin^3 x \cos^2 x \, \mathrm{d}x.\]

Vypočtěte integrál

\[\int \sin^4 x \, \mathrm{d}x.\]

Vypočtěte integrál

\[\int \mathrm{cotg}^3 \, x \, \mathrm{d}x.\]

Vypočtěte integrál

\[\int \frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{\frac{1-x}{x}}}.\]

Vypočtěte integrál

\[\int \frac{1}{\sqrt{x} \left( \sqrt[3]{x}+1 \right)} \, \mathrm{d}x.\]

Vypočtěte integrál

\[\int_0^{\pi} \left( x^2-x+1 \right) \sin x \, \mathrm{d}x.\]

Vypočtěte integrály:

\[\text{a) } \; \int_{\frac{1}{\mathrm{e}}}^{\mathrm{e}} \ln x \, \mathrm{d}x, \\\] \[\;\;\text{b) } \; \int_{\frac{1}{\mathrm{e}}}^{\mathrm{e}} \left| \ln x \right| \, \mathrm{d}x.\]

Vypočtěte integrál

\[\int_0^4 \frac{x}{\sqrt{x^2+9}} \, \mathrm{d}x.\]

Vypočtěte integrál

\[\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^3 x \, \mathrm{d}x.\]

Vypočtěte integrál

\[\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^1 \frac{\sqrt{1-x^2}}{x^2} \, \mathrm{d}x \; \text{ pomocí substituce } x=\sin t.\]

Vypočtěte obsah kruhu s poloměrem 1.

Vypočtěte obsah rovinného obrazce

\[M=\left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : \; 0 \leq x \leq \pi \, \wedge \, 1 \leq y \leq 2\sin x \right\}.\]

Vypočtěte objem koule s poloměrem

\[r>0.\]

Vypočtěte délku křivky

\[k=\left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : \; x \in \langle 4,8 \rangle \, \wedge \, y=\sqrt{x^3} \right\}.\]