1. Úvod do předmětu. Modelování. Fyzické a abstraktní modely. Matematické modelování, výpočtová matematika. Chyby v matematických modelech. Metody verifikace modelů. Apriorní a aposteriorní odhad chyb. Využití matematických modelů v praxi.
2. Základní matematický aparát: Souřadnicové systémy v rovině a v prostoru, transformace souřadnic. Skaláry, vektory, kartézská a geometrická reprezentace vektorů, vektorové prostory, dimenze vektorových prostorů. Skalární, vektorový a smíšený součin vektorů a jejich geometrické významy. Matice – singulární a regulární matice, determinant matice a jeho geometrický význam, transpozice matic, symetrické matice, vlastní čísla a vlastní vektory matice.
3. Základy vektorové analýzy a teorie pole: skalární a vektorové pole, gradient skalárního pole, potenciálové vektorové pole, skalární potenciál vektorového pole, divergence a rotace vektorového pole a jejich geometrický význam, vektorová pole zřídlová a nezřídlová, vírová a nevírová, souvislost nevírového pole s polem potenciálovým, operátory 2. řádu.
4. Obyčejné diferenciální rovnice (ODR): Vymezení pojmu obyčejné diferenciální rovnice a jejich klasifikace, řád diferenciální rovnice. Příklady diferenciálních rovnic různého typu. Základní pojmy z teorie obyčejných diferenciálních rovnic, formulace Cauchyho počáteční úlohy pro ODR 1. řádu, věta o existence a jednoznačnosti řešení počáteční úlohy, řešení počáteční úlohy pro ODR 1. řádu pomocí Piccardových aproximací.
5. Geometrická interpretace ODR 1. řádu: směrové pole, izokliny, integrální křivky. Základní typy ODR 1. řádu a analytické metody jejich řešení: metoda přímé integrace, metoda separace proměnných, rovnice se separovatelnými proměnnými, homogenní rovnice, lineární rovnice, Bernoulliho rovnice.
6. Další typy ODR 1. řádu a analytické metody jejich řešení: Ricattiova rovnice, exaktní diferenciální rovnice, diferenciální rovnice reducibilní na exaktní, integrační faktor.
7. Numerické metody řešení ODR – Diskretizace úloh. Obecné numerické schéma řešení ODR. Explicitní a implicitní metody. Jedno- a vícekrokové metody. Eulerova metoda – explicitní, implicitní, lichoběžníková. Metody typu Runge-Kutta. Metody typu prediktor-korektor.
8. Analytické řešení ODR n-tého řádu: Lineární ODR n-tého řádu s konstantními koeficienty, řešení zkrácené rovnice (s nulovou pravou stranou), charakteristická rovnice, fundamentální řešení, řešení úplné ODR pomocí metody neurčitých koeficientů a pomocí metody variace konstant.
9. Soustavy ODR: Soustavy lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty - maticový zápis, fundamentální systém řešení, eliminační metoda. Eulerova metoda řešení soustav LDR. Metoda variace konstant.
10. Formulace počáteční úlohy pro diferenciální ODR n-tého řádu a její převod na soustavu rovnic 1. řádu. Okrajové úlohy pro ODR: formulace okrajové úlohy. Okrajové podmínky: Dirichletova, Neumannova okrajová podmínka, Newtonova okrajová podmínka.
11. Parciální diferenciální rovnice (PDR). Klasifikace parciálních diferenciálních rovnic: lineární, semilineární, kvazilineární a nelineární. Základní otázky teorie PDR: existence a jednoznačnost řešení, stabilita a regularita řešení, metoda výpočtu řešení, pojem klasického a zobecněného řešení PDR, pojem obecného řešení, srovnání obecné řešení v případě ODR a v jednoduchých případech PDR.
12. Počáteční a okrajové úlohy pro PDR. Cauchyho počáteční problémy pro PDR, Zobecněné Cauchyho problémy pro PDR. Okrajové úlohy pro PDR, jejich formulace. Příklady počátečních a okrajových úloh. Smíšené nebo-li počáteční okrajové úlohy pro PDR. Existence a jednoznačnost řešení Cauchyho počátečních úloh, věta Cauchyho-Kovalevské.
13. Lineární parciální diferenciální rovnice 2. řádu a jejich klasifikace, rovnice eliptické, hyperbolické, parabolické. Typy okrajových podmínek pro PDR. Metoda separace proměnných (Fourierova metoda). Metoda kombinace proměnných u parabolických úloh. Metoda fundamentálního řešení (Greenova funkce).
2. Základní matematický aparát: Souřadnicové systémy v rovině a v prostoru, transformace souřadnic. Skaláry, vektory, kartézská a geometrická reprezentace vektorů, vektorové prostory, dimenze vektorových prostorů. Skalární, vektorový a smíšený součin vektorů a jejich geometrické významy. Matice – singulární a regulární matice, determinant matice a jeho geometrický význam, transpozice matic, symetrické matice, vlastní čísla a vlastní vektory matice.
3. Základy vektorové analýzy a teorie pole: skalární a vektorové pole, gradient skalárního pole, potenciálové vektorové pole, skalární potenciál vektorového pole, divergence a rotace vektorového pole a jejich geometrický význam, vektorová pole zřídlová a nezřídlová, vírová a nevírová, souvislost nevírového pole s polem potenciálovým, operátory 2. řádu.
4. Obyčejné diferenciální rovnice (ODR): Vymezení pojmu obyčejné diferenciální rovnice a jejich klasifikace, řád diferenciální rovnice. Příklady diferenciálních rovnic různého typu. Základní pojmy z teorie obyčejných diferenciálních rovnic, formulace Cauchyho počáteční úlohy pro ODR 1. řádu, věta o existence a jednoznačnosti řešení počáteční úlohy, řešení počáteční úlohy pro ODR 1. řádu pomocí Piccardových aproximací.
5. Geometrická interpretace ODR 1. řádu: směrové pole, izokliny, integrální křivky. Základní typy ODR 1. řádu a analytické metody jejich řešení: metoda přímé integrace, metoda separace proměnných, rovnice se separovatelnými proměnnými, homogenní rovnice, lineární rovnice, Bernoulliho rovnice.
6. Další typy ODR 1. řádu a analytické metody jejich řešení: Ricattiova rovnice, exaktní diferenciální rovnice, diferenciální rovnice reducibilní na exaktní, integrační faktor.
7. Numerické metody řešení ODR – Diskretizace úloh. Obecné numerické schéma řešení ODR. Explicitní a implicitní metody. Jedno- a vícekrokové metody. Eulerova metoda – explicitní, implicitní, lichoběžníková. Metody typu Runge-Kutta. Metody typu prediktor-korektor.
8. Analytické řešení ODR n-tého řádu: Lineární ODR n-tého řádu s konstantními koeficienty, řešení zkrácené rovnice (s nulovou pravou stranou), charakteristická rovnice, fundamentální řešení, řešení úplné ODR pomocí metody neurčitých koeficientů a pomocí metody variace konstant.
9. Soustavy ODR: Soustavy lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty - maticový zápis, fundamentální systém řešení, eliminační metoda. Eulerova metoda řešení soustav LDR. Metoda variace konstant.
10. Formulace počáteční úlohy pro diferenciální ODR n-tého řádu a její převod na soustavu rovnic 1. řádu. Okrajové úlohy pro ODR: formulace okrajové úlohy. Okrajové podmínky: Dirichletova, Neumannova okrajová podmínka, Newtonova okrajová podmínka.
11. Parciální diferenciální rovnice (PDR). Klasifikace parciálních diferenciálních rovnic: lineární, semilineární, kvazilineární a nelineární. Základní otázky teorie PDR: existence a jednoznačnost řešení, stabilita a regularita řešení, metoda výpočtu řešení, pojem klasického a zobecněného řešení PDR, pojem obecného řešení, srovnání obecné řešení v případě ODR a v jednoduchých případech PDR.
12. Počáteční a okrajové úlohy pro PDR. Cauchyho počáteční problémy pro PDR, Zobecněné Cauchyho problémy pro PDR. Okrajové úlohy pro PDR, jejich formulace. Příklady počátečních a okrajových úloh. Smíšené nebo-li počáteční okrajové úlohy pro PDR. Existence a jednoznačnost řešení Cauchyho počátečních úloh, věta Cauchyho-Kovalevské.
13. Lineární parciální diferenciální rovnice 2. řádu a jejich klasifikace, rovnice eliptické, hyperbolické, parabolické. Typy okrajových podmínek pro PDR. Metoda separace proměnných (Fourierova metoda). Metoda kombinace proměnných u parabolických úloh. Metoda fundamentálního řešení (Greenova funkce).