Matematika pro informatiku

Předmět poskytuje systematický přehled matematických konceptů, které tvoří základ moderní analýzy dat, strojového učení, zpracování informací a signálů. Výuka je strukturována tak, aby postupně budovala porozumění od abstraktních algebraických struktur přes geometrii datového prostoru až po praktické metody komprese, klasifikace a transformace.

V úvodních blocích se studenti seznámí se svazy, algebrami s dvěma operacemi a konceptuálními svazy, které slouží jako formální rámec pro reprezentaci znalostí a vztahů. Následuje rozšíření o fuzzy množiny a rough sets, které umožňují modelovat neurčitost a neúplnost dat.

Další část kurzu se věnuje metrickým a topologickým strukturám, podobnostem a nepodobnostem, které tvoří základ pro geometrické modelování dat. V této souvislosti se probírá problematika dimenzionality, vlastní čísla a vektory, a metody redukce dimenze jako PCA a SVD.

Na tuto část navazují přednášky zaměřené na shlukování dat – od matematických základů algoritmů po metody hodnocení kvality shluků. Kurz dále pokrývá teorii informace, včetně entropie, Kullback-Leiblerovy divergence, vzájemné informace a principů kódování. Studenti se seznámí s množinami kódů, kódy proměnné délky a statistickým kódováním.

Závěrečná část je věnována transformacím dat, konkrétně Fourierově a waveletové transformaci, včetně konvoluce, které jsou zásadní pro zpracování signálů, obrazu a frekvenční analýzu.

Výsledky učení:
1. Porozumět abstraktním algebraickým strukturám a jejich aplikacím na reprezentaci dat.
2. Modelovat neurčitost a neúplnost dat pomocí fuzzy množin a rough sets.
3. Analyzovat geometrické a metrické vlastnosti dat, včetně redukce dimenze (PCA, SVD).
4. Shlukovat data a hodnotit kvalitu shlukovacích algoritmů.
5. Aplikovat transformace dat a principy kódování pro zpracování signálů a informací.