Matematická analýza 2
Opencast
Určete a znázorněte v rovině definiční obor funkce
\[f(x,y):=\sqrt{x^2-1}+\sqrt{1-y^2}.\]
Určete a znázorněte v rovině definiční obor funkce
\[f(x,y):=\sqrt{9-x^2-y^2}-\sqrt{x^2-y^2-1}.\]
Určete a znázorněte v rovině definiční obor funkce
\[f(x,y):=\frac{1}{\sqrt{y-\sqrt{x}}}.\]
Určete a znázorněte v rovině definiční obor funkce
\[f(x,y):=\sqrt{x^2-y^2} \cdot \ln(xy).\]
Určete a znázorněte v rovině definiční obor funkce
\[f(x,y):=\arcsin \frac{x}{y^2}+\arcsin (1-y).\]
Určete a znázorněte v rovině definiční obor funkce
\[f(x,y):=\ln\big( \mathrm{max}\{x^2,y\}\big).\]
Určete a znázorněte v rovině vrstevnice funkce
\[f(x,y):=\sqrt{x^2+y^2}.\]
Určete a znázorněte v rovině vrstevnice funkce
\[f(x,y):=x^2+y^2.\]
Určete a znázorněte v rovině vrstevnice funkce
\[f(x,y):=4-x^2.\]
Určete a znázorněte v rovině vrstevnici funkce
\[f(x,y):=\sin(y-x) \; \text{ o kótě } \, c=\frac{1}{2}.\]
Určete a znázorněte v rovině vrstevnice funkce
\[f(x,y):=\mathrm{max}\{x,y\}.\]
Určete všechny parciální derivace prvního řádu funkce
\[f(x,y):=x^2\ln y + x^3y^2 \; \text{ v bodě } \, c=(2,1).\]
Určete všechny parciální derivace prvního řádu funkce
\[f(x,y,z):=\mathrm{e}^{x^2y^2}+\arcsin x \; \text{ v bodě } \, c=(0,3,6).\]
Určete všechny parciální derivace prvního řádu funkce
\[f(x,y):=\cos\left(x^2y\right)-\mathrm{e}^{xy^2}.\]
Určete všechny parciální derivace prvního řádu funkce
\[f(x,y):=\ln\left(x+\sqrt{x^2+y^2}\right).\]
Určete všechny parciální derivace prvního řádu funkce
\[f(x,y):=x^2 \cdot |y| \; \text{ v bodě } \, c=(3,0).\]
Vypočtěte všechny parciální derivace 2. řádu funkce
\[f(x,y,z):=\cos\left(2x^2+3y\right)+z.\]
Vypočtěte
\[\frac{\partial^3 f}{\partial x \, \partial y \, \partial x}, \, \text{ je-li } \, f(x,y):=\mathrm{e}^{x^2y}.\]
Najděte rovnici tečné roviny sestrojené ke grafu funkce
\[f(x,y):=x^3-y^2+2xy-3 \; \text{ v bodě } \, (1,2,-2).\]
Najděte rovnici tečné roviny sestrojené ke grafu funkce
\[f(x,y):=\ln\left(x^2+y^3-3\right) \; \text{ v bodě } \, \big(2,1,f(2,1)\big).\]
Vypočtěte
\[\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}u}(c), \, \text{ je-li } \, f(x,y):=\mathrm{arctg} \frac{y}{x}, \, \\\] \[c=\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right), \, u=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right).\]
Vypočtěte
\[\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}u}(c), \, \text{ je-li } \, f(x,y):=\ln\left(x^2+y^2\right), \, c=(3,4), \, \\\] \[u \, \text{ je (jednotkový) směrový vektor tečny sestrojené k vrstevnici } \\\] \[v_f\big(f(c)\big)=\left\{(x,y) \in \mathbb{R}^2: \, f(x,y)=f(3,4) \right\}.\]
Určete, pro jaká
\[u \in \mathbb{R}^3 \, \text{ je } \, \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}u}(c) \, \text{ největší (resp. nejmenší), je-li } \, \\\] \[f(x,y,z):=xyz, \, c=(1,1,2).\]
Určete největší hodnotu
\[\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}u}(c), \, \text{ je-li } \, f(x,y,z):=\sin 2x + \cos y +1.\]
Najděte Taylorův polynom 2. řádu funkce
\[f(x,y):=2x^2-3xy+y^2+4x \; \text{ v bodě } \, c=(-1,2).\]
Najděte Taylorův polynom 2. řádu funkce
\[f(x,y):=\ln(x+1) \cos y \; \text{ v bodě } \, c=(0,0).\]
Najděte všechny lokální extrémy funkce
\[f(x,y):=x^3-3x^2+6xy+2y^2-3x-10y.\]
Najděte všechny lokální extrémy funkce
\[f(x,y):=2x^3-xy^2+5x^2+y^2.\]
Najděte všechny lokální extrémy funkce
\[f(x,y):=x^3+3xy^2-6xy+7.\]
Najděte všechny lokální extrémy funkcí:
\[\text{a) } \, f(x,y):=\big(2x+3y-6\big)^2, \\\] \[\text{b) } \, f(x,y):=\big(2x+3y-6\big)^3.\]
Najděte všechny lokální extrémy funkce
\[f(x,y):=x^4-y^4.\]
Najděte všechny globální extrémy funkce
\[f(x,y):=x^2y \; \text{ na množině } \, M=\left\{(x,y) \in \mathbb{R}^2: \, x^2+y^2 \leq 1 \right\}.\]
Najděte všechny globální extrémy funkce
\[f(x,y):=x^2+xy+y^2 \; \text{ na množině } \, M=\langle -1,1 \rangle \times \langle -1,2 \rangle.\]
Najděte všechny globální extrémy funkce
\[f(x,y):=x^2+(1-x)^3y^2 \; \text{ na } \, \mathbb{R}^2.\]